人工智能線性代數(shù)基礎(chǔ)：矩陣論——第一章 線性空間
2022-04-29 13:53:54

Hello，大家好我叫是Dream呀，一個(gè)有趣的Python博主，小白一枚，多多關(guān)照 ?

入門須知：這片樂園從不缺乏天才，努力才是你的最終入場(chǎng)券！

最后，愿我們都能在看不到的地方閃閃發(fā)光，一起加油進(jìn)步

“一萬次悲傷，依然會(huì)有Dream，我一直在最溫暖的地方等你”，唱的就是我！哈哈哈~

第一章 線性空間

• ??1.1線性代數(shù)知識(shí)回顧??

• ??一、向量??

• ??1、向量的實(shí)際意義??
• ??2、向量的線性運(yùn)算??
• ??3、向量的內(nèi)積??
• ??4、向量的長度??

• ??二、向量組??

• ??1、向量組的實(shí)際意義??
• ??2、向量的線性表示??
• ??3、向量組的線性相關(guān)??
• ??4、向量組的線性無關(guān)??
• ??5、向量組的極大無關(guān)組??
• ??6、向量組的秩??

• ??三、矩陣??

• ??1.矩陣的意義??
• ??2、特殊矩陣??
• ??3、 矩陣的運(yùn)算??
• ??4、矩陣秩的計(jì)算??

• ??四、線性方程組??

• ??1.向量、矩陣與線性方程組的關(guān)系??
• ??2.線性方程組解的判定（利用矩陣的秩討論）??
• ??3、 齊次線性方程組的解法??
• ??4、 線性方程組的應(yīng)用??

• ??1.2 線性空間??

• ??一、數(shù)域??
• ??二、向量空間??

• ??向量空間的基和維數(shù)??

• ??三、線性空間??
• ??四、 線性空間的基與維數(shù)??
• ??五、線性子空間??
• ??六、子空間的交與和??

1.1線性代數(shù)知識(shí)回顧

一、向量

1、向量的實(shí)際意義

確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個(gè)

參數(shù)：

飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù) P(x,y,z)

機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角:

a

機(jī)身的仰角:

b

機(jī)翼的轉(zhuǎn)角;

c

所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量

a = (x, y,z,a,b ,c )

確定西瓜是好瓜還是壞瓜？ 需要描述西瓜的特征

如下：

顏色：深綠、淺綠、淺白
根蒂：硬挺、稍卷
條紋：清晰、模糊
糖分：連續(xù)的值
西瓜：(深綠， 硬挺，清晰，1.2)

2、向量的線性運(yùn)算

3、向量的內(nèi)積

4、向量的長度

二、向量組

1、向量組的實(shí)際意義

利用如下特征描述一車西瓜的特點(diǎn)，確定一車西瓜哪些是好瓜，哪些是壞瓜？

一車西瓜有若干個(gè)向量表示，構(gòu)成向量組。

2、向量的線性表示

3、向量組的線性相關(guān)

4、向量組的線性無關(guān)

一個(gè)零向量線性相關(guān)，而一個(gè)非零向量線性無關(guān)

5、向量組的極大無關(guān)組

定義：設(shè)向量組 A 與其一個(gè)部分向量組A0：a1, a2, …, ar，如果滿足：

① 向量組A0：a1, a2, …, ar線性無關(guān)；

② 向量組 A中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示；

那么稱向量組 A0是向量組A的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組

6、向量組的秩

定義：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，記作r(A)

三、矩陣

1.矩陣的意義

2、特殊矩陣

8.三角矩陣

3、 矩陣的運(yùn)算

(1) 加、減

(2) 數(shù)乘

(3) 乘法

注意：

矩陣乘法不滿足交換律；

矩陣乘法不滿足消去律

兩個(gè)非零矩陣的乘法可能是零矩陣

（4）逆矩陣的概念

4、矩陣秩的計(jì)算

定義：矩陣A 的最高階非零子式的階數(shù)， 稱為矩陣，A 的秩，記作 r(A)．

r(A)=2

1. 存在一個(gè)非零二階子式
2. 所有的三階及以上子式都等于0

r(A)=r

1. 存在一個(gè)非零r階子式
2. 所有的r+1階及以上子式都等于0

規(guī)定：零矩陣的秩等于零．

求矩陣的秩的方法：

(1) 化行階梯形矩陣；

(2) 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)

n階矩陣的秩為n時(shí)，稱其為滿秩矩陣，否則稱其為降秩矩陣.

四、線性方程組

1.向量、矩陣與線性方程組的關(guān)系

1. 向量組構(gòu)成矩陣
2. 用向量組的線性組合表示方程組
3. 矩陣可以表示線性方程組
4. 向量組的秩=矩陣的秩=有效方程的個(gè)數(shù)
   

2.線性方程組解的判定（利用矩陣的秩討論）

3、 齊次線性方程組的解法

4、 線性方程組的應(yīng)用

1.2 線性空間

一、數(shù)域

封閉：指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于該集合．

數(shù)域：數(shù)集關(guān)于四則運(yùn)算是封閉的

二、向量空間

定義：設(shè) V 是 一個(gè)向量組集合，如果

① 集合 V 非空，

② 集合 V 對(duì)于向量的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，具體地說，就是：

1. ? 若 a ∈ V， b ∈ V，則 a + b ∈ V ．（對(duì)加法封閉）
2. ? 若 a ∈ V， l ∈ R，則 l a ∈ V . （對(duì)數(shù)乘封閉）

那么就稱集合 V 為向量空間．

齊次線性方程組的解集 S1 = { x | Ax = 0 }是向量空間

定義：齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間

向量空間的基和維數(shù)

基：向量組的一個(gè)極大無關(guān)組

維數(shù)：向量組的秩

三、線性空間

四、 線性空間的基與維數(shù)

五、線性子空間

定義：如果線性空間 V 的非空子集合 V1 對(duì)于 V 中所定義的

加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算是封閉的，則稱 V1 是 V 的子空間．

平凡子空間：零空間，V本身

例：

• 1.n 維向量的全體Rn (1) 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R }
• 2. 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：V1 是 Rn 的子空間， V2 不是 Rn
  的子空間

六、子空間的交與和

好啦，這就是今天要分享給大家的全部內(nèi)容了

??????如果你喜歡的話，就不要吝惜你的一鍵三連了~