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- 復(fù)變函數(shù)
起源
復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。
發(fā)展簡況
復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。
為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。
后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯了。二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。
復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點(diǎn)對應(yīng)有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。
比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機(jī)的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。
復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。
內(nèi)容
復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。
如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時候，函數(shù)就有一個唯一確定的值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這樣的函數(shù)。
復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。
黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來?，F(xiàn)時，關(guān)于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。
復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、彈性理論、靜電場 、電路理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。
留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對于復(fù)變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實(shí)變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求留數(shù)的計算，當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時候，計算更加簡潔。
把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿足實(shí)際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。
廣義解析函數(shù)的應(yīng)用范圍很廣泛，不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學(xué)部門也在應(yīng)用。因此，這些年來這方面的理論發(fā)展十分迅速。
從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。
定義
復(fù)變數(shù)復(fù)值函數(shù)的簡稱。設(shè)A是一個復(fù)數(shù)集,如果對A中的任一復(fù)數(shù)z，通過一個確定的規(guī)則有一個或若干個復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)，就說在復(fù)數(shù)集A上定義了一個復(fù)變函數(shù)，記為w=
對于z∈A,ƒ(z)的全體所成的數(shù)集稱為A關(guān)于ƒ的像，記為ƒ(A)。函數(shù)ƒ規(guī)定了A與ƒ(A)之間的一個映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應(yīng);如果ƒ(A)∈A*，稱ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，則稱ƒ把A映成A*，此時稱A為A*的原像。對于把A映成A*的映射ƒ，如果z1與z2相異必導(dǎo)致ƒ(z1)與ƒ(z2)也相異，則稱ƒ是一對一的。在一對一的映射下，對A*上的任一w，A上必有一個z與之對應(yīng)，稱此映射為ƒ的反函數(shù)，記為
z=ƒ-1(w)
設(shè)ƒ(z)是A上的復(fù)變函數(shù),α是A中一點(diǎn)。如果對任一正數(shù)ε，都有正數(shù)δ，當(dāng)z∈A且|z-α|<δ時,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，則稱ƒ(z)在α處是連續(xù)的。如果在A上處處連續(xù),則稱為A上的連續(xù)函數(shù)或連續(xù)映射。設(shè)ƒ是緊集A上的連續(xù)函數(shù)，則對任一正數(shù)ε，必存在不依賴自變數(shù)z的正數(shù)δ,當(dāng)z1，z2∈A且|z1-z2<δ時|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。這個性質(zhì)稱為ƒ(z)在A上的一致連續(xù)性或均勻連續(xù)性。
設(shè)ƒ(z)是平面開集D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)。對于z∈D,如果極限存在且有限,則稱ƒ(z)在z處是可導(dǎo)的，此極限值稱為ƒ(z)在z處的導(dǎo)數(shù),記為ƒ┡(z)。這是實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念的推廣，但復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的存在卻蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容。這是因?yàn)閦+h是z的二維鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，極限的存在條件比起一維的實(shí)數(shù)情形要強(qiáng)得多。一個復(fù)變函數(shù)如在z的某一鄰域內(nèi)處處有導(dǎo)數(shù)，則該函數(shù)必在z處有高階導(dǎo)數(shù),而且可以展成一個收斂的冪級數(shù)(見解析函數(shù))。所以復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的存在，對函數(shù)本身的結(jié)構(gòu)有重大影響，而這些結(jié)果的研究，構(gòu)成了一門學(xué)科──復(fù)變函數(shù)論。
極限與連續(xù)性
設(shè)函數(shù) w = f(z) 在集 E 上確定, z0 為 E 之聚點(diǎn), α 為一復(fù)常數(shù). 如果 ?ε 0, ?δ > 0, 當(dāng) z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 時, 有
| f(z) - α | < ε
則稱當(dāng) z 趨于 z0 時, f(z) 有極限 α. 記作
lim f(z) (z→z0) = α .
復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
設(shè) f(z) 是在區(qū)域 D 內(nèi)確定的單值函數(shù), 并且 z0 ∈ D, 如果lim (f(z)-f(z0))/(z-z0) (z→z0)
存在且等于有限復(fù)數(shù) α. 則稱f(z) 在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)或者可微, 或稱有導(dǎo)數(shù) α, 記作 f‘(z0).
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