幾何光學(xué)

在幾何光學(xué)中，把組成物體的物點(diǎn)看作是幾何點(diǎn)，把它所發(fā)出的光束看作是無(wú)數(shù)幾何光線的集合，光線的方向代表光能的傳播方向。在此假設(shè)下，根據(jù)光線的傳播規(guī)律，在研究物體被透鏡或其他光學(xué)元件成像的過(guò)程，以及設(shè)計(jì)光學(xué)儀器的光學(xué)系統(tǒng)等方面都顯得十分方便和實(shí)用。

但實(shí)際上，上述光線的概念與光的波動(dòng)性質(zhì)相違背，因?yàn)闊o(wú)論從能量的觀點(diǎn)，還是從光的衍射現(xiàn)象來(lái)看，這種幾何光線都是不可能存在的。所以，幾何光學(xué)只是波動(dòng)光學(xué)的近似，是當(dāng)光波的波長(zhǎng)很小時(shí)的極限情況。作此近似后，幾何光學(xué)就可以不涉及光的物理本性，而能以其簡(jiǎn)便的方法解決光學(xué)儀器中的光學(xué)技術(shù)問(wèn)題。

光線的傳播遵循三條基本定律：光線的直線傳播定律，既光在均勻媒質(zhì)中沿直線方向傳播；光的獨(dú)立傳播定律，既兩束光在傳播途中相遇時(shí)互不干擾，仍按各自的途徑繼續(xù)傳播，而當(dāng)兩束光會(huì)聚于同一點(diǎn)時(shí)，在該點(diǎn)上的光能量是簡(jiǎn)單的相加；反射定律和折射定律，既光在傳播途中遇到兩種不同媒質(zhì)的光滑分界面時(shí)，一部分反射另一部分折射，反射光線和折射光線的傳播方向分別由反射定律和折射定律決定。

基于上述光線傳播的基本定律，可以計(jì)出光線在光學(xué)系統(tǒng)中的傳播路徑。這種計(jì)算過(guò)程稱為光線追跡，是設(shè)計(jì)光學(xué)系統(tǒng)時(shí)必須進(jìn)行的工作。

幾何光學(xué)中研究和討論光學(xué)系統(tǒng)理想成像性質(zhì)的分支稱為高斯光學(xué)，或稱近軸光學(xué)。它通常只討論對(duì)某一軸線(即光軸)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的光學(xué)系統(tǒng)。如果從物點(diǎn)發(fā)出的所有光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)以后都交于同一點(diǎn)，則稱此點(diǎn)是物點(diǎn)的完善像。

如果物點(diǎn)在垂軸平面上移動(dòng)時(shí)，其完善像點(diǎn)也在垂軸平面上作線性移動(dòng)，則此光學(xué)系統(tǒng)成像是理想的?？梢宰C明，非常靠近光軸的細(xì)小物體，其每個(gè)物點(diǎn)都以很細(xì)的、很靠近光軸的單色光束被光學(xué)系統(tǒng)成像時(shí)，像是完善的。這表明，任何實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)(包括單個(gè)球面、單個(gè)透鏡)的近軸區(qū)都具有理想成像的性質(zhì)。

為便于一般地了解光學(xué)系統(tǒng)的成像性質(zhì)和規(guī)律，在研究近軸區(qū)成像規(guī)律的基礎(chǔ)上建立起被稱為理想光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)模型。這個(gè)模型完全撇開(kāi)具體的光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，僅以幾對(duì)基本點(diǎn)的位置以及一對(duì)基本量的大小來(lái)表征。

根據(jù)基本點(diǎn)的性質(zhì)能方便地導(dǎo)出成像公式，從而可以了解任意位置的物體被此模型成像時(shí)，像的位置、大小、正倒和虛實(shí)等各種成像特性和規(guī)律。反過(guò)來(lái)也可以根據(jù)成像要求求得相應(yīng)的光學(xué)模型。任何具體的光學(xué)系統(tǒng)都能與一個(gè)等效模型相對(duì)應(yīng)，對(duì)于不同的系統(tǒng)，模型的差別僅在于基本點(diǎn)位置和焦距大小有所不同而已。

高斯光學(xué)的理論是進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)的整體分析和計(jì)算有關(guān)光學(xué)參量的必要基礎(chǔ)。 

利用光學(xué)系統(tǒng)的近軸區(qū)可以獲得完善成像，但沒(méi)有什么實(shí)用價(jià)值。因?yàn)榻S區(qū)只有很小的孔徑(即成像光束的孔徑角)和很小的視場(chǎng)(即成像范圍)，而光學(xué)系統(tǒng)的功能，包括對(duì)物體細(xì)節(jié)的分辨能力、對(duì)光能量的傳遞能力以及傳遞光學(xué)信息的多少等，正好是被這兩個(gè)因素所決定的。要使光學(xué)系統(tǒng)有良好的功能，其孔徑和視場(chǎng)要遠(yuǎn)比近軸區(qū)所限定的為大。 

當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)的孔徑和視場(chǎng)超出近軸區(qū)時(shí)，成像質(zhì)量會(huì)逐漸下降。這是因?yàn)樽匀稽c(diǎn)發(fā)出的光束中，遠(yuǎn)離近軸區(qū)的那些光線在系統(tǒng)中的傳播光路偏離理想途徑，而不再相交于高斯像點(diǎn)(即理想像點(diǎn))之故。這時(shí)，一點(diǎn)的像不再是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)模糊的彌散斑；物平面的像不再是一個(gè)平面，而是一個(gè)曲面，而且像相對(duì)于物還失去了相似性。所有這些成像缺陷，稱為像差。

用單色光成像時(shí)，有五種不同性質(zhì)的像差，即球差彗差、像散、場(chǎng)曲和畸變。前三種像差破壞了點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)。其中，球差使物點(diǎn)的像成為圓形彌散斑，彗差造成彗星狀彌散斑，而像散則導(dǎo)致橢圓形彌散斑。場(chǎng)曲使物平面的像面彎曲，畸變使物體的像變形。

此外，當(dāng)用較寬波段的復(fù)色光成像時(shí)，由于光學(xué)媒質(zhì)的折射率隨波長(zhǎng)而異，各色光經(jīng)透鏡系統(tǒng)逐面折射時(shí)，必會(huì)因色散而有不同的傳播途徑，產(chǎn)生被稱為色差的成像缺陷。色差分兩種：位置色差和倍率色差。前者導(dǎo)致不同的色光有不同的成像位置，后者導(dǎo)致不同的色光有不同的成像倍率。兩者都使像帶色而嚴(yán)重影響成像質(zhì)量，即使在近軸區(qū)也不能幸免。

各種像差的實(shí)際值需通過(guò)若干條光線的追跡而得知。但是，在稍大于近軸區(qū)的范圍(稱賽德耳區(qū))內(nèi)，成像缺陷可以用初級(jí)像差(也稱賽德耳像差)來(lái)描述。初級(jí)像差值只需通過(guò)對(duì)二條近軸光線的追跡就能全部計(jì)算出來(lái)。像差，特別是初級(jí)像差已有相當(dāng)完整的理論，是光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

為使光學(xué)系統(tǒng)在具有大的孔徑和視場(chǎng)時(shí)能良好成像，必須對(duì)像差作精細(xì)校正和平衡，這不是用簡(jiǎn)單的系統(tǒng)所能實(shí)現(xiàn)的。所以，高性能的實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)需要有較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式。

一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)須滿足一系列要求，包括：放大率、物像共軛距、轉(zhuǎn)像和光軸轉(zhuǎn)折等高斯光學(xué)要求；孔徑和視場(chǎng)等性能要求，以及校正像差和成像質(zhì)量等方面的要求。這些要求都需要在設(shè)計(jì)時(shí)予以考慮和滿足。因此，光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)工作應(yīng)包括：對(duì)光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行整體安排，并計(jì)算和確定系統(tǒng)或系統(tǒng)的各個(gè)組成部分的有關(guān)高斯光學(xué)參量和性能參量；選取或確定系統(tǒng)或系統(tǒng)各組成部分的結(jié)構(gòu)形式并計(jì)算其初始結(jié)構(gòu)參量；校正和平衡像差；評(píng)價(jià)像質(zhì)。

像差與光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量(如透鏡厚度、透鏡表面曲率半徑等)之間的關(guān)系極其復(fù)雜，不可能以具體的函數(shù)式表達(dá)出來(lái)，因而無(wú)法采用解方程之類的辦法直接由像差要求計(jì)算出系統(tǒng)的精確結(jié)構(gòu)參量?，F(xiàn)在能做到的是求得滿足初級(jí)像差要求的解。

初級(jí)像差是實(shí)際像差的近似表示，僅在孔徑和視場(chǎng)較小時(shí)能反映實(shí)際的像差情況，因此，按初級(jí)像差要求求得的解只是初始的結(jié)構(gòu)參量，需對(duì)其進(jìn)行修改才能達(dá)到像差的進(jìn)一步校正和平衡，在這一過(guò)程中，傳統(tǒng)的做法是根據(jù)追跡光線得到的像差數(shù)據(jù)及其在系統(tǒng)各面上的分布情況，進(jìn)行分析、判斷，找出對(duì)像差影響大的參量，加以修改，然后再追跡光線求出新的像差數(shù)據(jù)加以訐價(jià)。如此反復(fù)修改，直到把應(yīng)該考慮的各種像差都校正和平衡到符合要求為止。這是一個(gè)極其繁復(fù)和費(fèi)時(shí)很多的過(guò)程。 

電子計(jì)算機(jī)的問(wèn)世和應(yīng)用，給光學(xué)設(shè)計(jì)工作以很大的促進(jìn)。光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)能根據(jù)系統(tǒng)各個(gè)結(jié)構(gòu)參量對(duì)像差的影響，同時(shí)修改對(duì)像差有校正作用的所有參量，使各種像差同時(shí)減小，因此能充分發(fā)揮各個(gè)結(jié)構(gòu)參量對(duì)像差的校正作用，不僅加快了設(shè)計(jì)速度，也提高了設(shè)計(jì)質(zhì)量。

在光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)中，需構(gòu)造一個(gè)既便于計(jì)算機(jī)作判斷又能反映所設(shè)計(jì)系統(tǒng)像質(zhì)優(yōu)劣的評(píng)價(jià)函數(shù)，以引導(dǎo)計(jì)算機(jī)對(duì)結(jié)構(gòu)參量的修改。通常，用加權(quán)像差的二次方之和構(gòu)成評(píng)價(jià)函數(shù)，它是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量的函數(shù)。每修改一次結(jié)構(gòu)參數(shù)(稱為一次迭代)都會(huì)引起評(píng)價(jià)函數(shù)值的變化，如果有所降低，就表示像差有所減小，像質(zhì)有所提高。

結(jié)構(gòu)參量的改變要有一定的約束，以保證有關(guān)邊界條件得到滿足。所以，所謂光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)，就是在滿足邊界條件的前提下，經(jīng)過(guò)若干次迭代，由計(jì)算機(jī)自動(dòng)找出一組結(jié)構(gòu)參量，使其評(píng)價(jià)函數(shù)為極小值?，F(xiàn)在用于光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)方法很多，較為有效、已為大家所采用的有阻尼最小二乘法，標(biāo)準(zhǔn)正交化法和適應(yīng)法等。

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